Recomendación

EnterBio

Ángulos:

Todavía seguimos recordando que un ángulo recto tiene 90 grados, un ángulo agudo tiene 180 grados mientras que el ángulo obtuso 270.

Números enteros. Valor absoluto

El número entero positivo y su correspondiente negativo, se llaman opuestos.

Un número entero está formado por:

· Un signo (+) o (-) que indica si es positivo o negativo.
· Un número que sigue al signo y que representa su valor absoluto.

Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.

RECUERDA

· El opuesto de un número entero cualquiera se escribe op(a)
·El opuesto del opuesto de un número es el mismo número op[op(a)] = a

REPASO

Galileo Galilei

En 1622, en Fráncfort, aparece una Apología de Galileo redactada por Tommaso Campanella en 1616. Un defensor bastante poco confiable, puesto que Campanella ya está convencido de herejía.

El 6 de agosto 1622, el cardenal Mafeo Barberini es elegido Papa bajo el nombre de Urbano VIII. El 3 de febrero 1623 Galileo recibe la autorización para publicar su Saggiatore que dedica al nuevo Papa. La obra aparece el 20 de octubre 1623. Gracias a las cualidades polémicas (y literarias) de la obra, se aseguró el éxito en la época. No permanece más que unos meses allí en una atmósfera de gran efervescencia cultural, Galileo se convierte de alguna manera en el representante de los círculos intelectuales romanos en rebelión contra el conformismo intelectual y científico impuesto por los Jesuitas.

Los años siguientes son bastante tranquilos para Galileo a pesar de los ataques de los aristotélicos. Aprovecha para perfeccionar su microscopio compuesto (septiembre de 1624), pasa un mes en Roma donde es recibido numerosas veces por Urbano VIII. Este último le da la idea de su próximo libro Diálogo sobre los dos sistemas del mundo, obra que presenta de manera imparcial a la vez el sistema aristotélico y el sistema copernicano. Él encarga a Galileo de escribirla.

En 1626, Galileo prosigue sus investigaciones sobre la estructura del imán. También recibe la visita de Élie Dodati, que llevará las copias de sus manuscritos a París. En marzo de 1628, Galileo cae gravemente enfermo y está a punto de morir.

El año siguiente, sus adversarios intentan privarle de la asignación que recibe de la Universidad de Pisa, pero la maniobra falla.

Hasta 1631 Galileo consagra su tiempo a la escritura del Diálogo y a intentar que éste sea admitido por la censura. La obra se imprime en febrero de 1632. Los ojos de Galileo comienzan a traicionarle en marzo y abril. Las posiciones del teólogo valón Libert.

El 21 de febrero de 1632, Galileo, protegido por el papa Urbano VIII y el gran duque de Toscana Fernando II de Medicis, publica en Florencia su diálogo de los Massimi sistemi (Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo) (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo), donde se burla implícitamente del geocentrismo de Ptolomeo. El Diálogo es a la vez una revolución y un verdadero escándalo. El libro es en efecto abiertamente pro-copernicano, ridiculizando audazmente la interdicción de 1616 (que no será levantada hasta 1812: a verificar).

El Diálogo se desarrolla en Venecia durante cuatro jornadas entre tres interlocutores : Filipo Salviati, un Florentino seguidor de Copérnico, Giovan Francesco Sagredo, un veneciano ilustrado sin tomar partido, y Simplicio, un mediocre defensor de la física aristótelica, un personaje en el cual Urbano VIII podría ser (quizás) reconocido. Pero, mientras que se le reprocha el carácter ostensiblemente peyorativo del nombre, Galileo responde que se trata de Simplicius de Cilicie.

El papa mismo se alinea entonces rápidamente con la opinión de los adversarios de Galileo: él le había pedido una presentación objetiva de las dos teorías, no un alegato por Copérnico. Galileo es entonces convocado de nuevo por el Santo Oficio, el 1 octubre 1632. Enfermo, no puede acudir a Roma hasta febrero de 1633. Los interrogatorios prosiguen hasta el 21 de junio donde la amenaza de tortura es evocada bajo órdenes del papa; Galileo cede.

El 22 de junio 1633, en el convento dominicano de Santa María, se emite la sentencia: Galileo es condenado a la prisión de por vida (pena inmediatamente conmutada por residencia de por vida por Urbano VIII) y su obra es prohibida. Él pronuncia igualmente la fórmula de abjuración que el Santo Oficio había preparado. Notemos de paso que Galileo no pronuncia jamás el famoso « Y sin embargo se mueve » (Eppur si muove).

El texto de la sentencia es difundido por doquier: en Roma el 2 de julio, el 12 de agosto en Florencia. La noticia llega a Alemania a finales de agosto, en Bélgica en septiembre. Los decretos del Santo Oficio no se publicarán jamás en Francia, pero, prudentemente, René Descartes renuncia a la publicación de su Mundo.

Muchos (entre ellos Descartes), en la época, piensan que Galileo era la víctima de una confabulación de los Jesuitas que se vengaban así de la afrenta sufrida por Horazio Grassi en el Saggiatore.

Galileo permanece confinado en su residencia en su casa de Florencia desde diciembre de 1633 a 1638. Allí recibe algunas visitas, lo que le permitió que alguna de sus obras en curso de redacción pudiera cruzar la frontera. Estos libros aparecieron en Estrasburgo y en París en traducción latina En 1636, Luis Elzevier recibe un boceto de los Discursos sobre dos nuevas ciencias de la parte del maestro florentino. Éste es el último libro que escribirá Galileo; en él establece los fundamentos de la mecánica en tanto que ciencia y que marca así el fin de la física aristotélica. Intenta también establecer las bases de la resistencia de los materiales, con menos éxito. Terminará este libro a lo justo, puesto que el 4 de julio de 1637 pierde el uso de su ojo derecho.

El 2 de enero de 1638, Galileo pierde definitivamente la vista. Por suerte, Dino Peri ha recibido la autorización para vivir en casa de Galileo para asistirlo junto con el padre Ambrogetti que tomará nota de la sexta y última parte de los Discursos. Esta parte no aparecerá hasta 1718. La obra completa aparecerá en julio de 1638 en Leiden (Países Bajos) y en París. Será leída por las más grandes personalidades de la época. Descartes por ejemplo enviará sus observaciones a Mersenne, el editor parisino.

Galileo, entre tanto, ha recibido la autorización de instalarse cerca del mar, en su casa de San Giorgio. Permanecerá allí hasta su muerte, rodeado de sus discípulos (Viviani, Torricelli, Peri, etc.), trabajando en la astronomía y otras ciencias. A fines de 1641, Galileo trata de aplicar la oscilación del péndulo a los mecanismos del reloj.

Unos días más tarde, el 8 de enero de 1642, Galileo muere en Arcetri a la edad de 78 años. Su cuerpo es inhumado en Florencia el 9 de enero. Un mausoleo será erigido en su honor el 13 de marzo de 1736 en la iglesia de la Santa Cruz de Florencia.

Sistema de numeración decimal y posicional

El sistema numérico que usamos actualmente recibe el nombre de decimal y posicional.
Es decimal o de base 10 porque se agrupan las unidades de diez en diez.

Es posicional porque el valor que representa cada cifra depende de su situación en el número

Ejemplo:
41499793 habitantes

El número 41499793 representa al número de habitantes que hay en un país

Se lee: cuarenta y un millones cuatrocientos noventa y nueve mil setecientos noventa y tres.

Para expresar cantidades usamos un sistema de numeración en el que 10 unidades forman una unidad del orden inmediato superior, y el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa en el número.

En el número de habitantes, el número 4 de la izquierda representa cuarenta millones, y el otro, cuatrocientos mil.

Clasificación de los polígonos

Atendiendo al número de lados, los polígonos, se clasifican de la siguiente manera:

- polígono de tres lados: triángulo
- polígono de cuatro lados: cuadrilátero
- polígono de cinco lados: pentágono
- polígono de seis lados: hexágono
- polígono de siete lados: heptágono
- polígono de ocho lados: octógono
- polígono de nueve lados: eneágono
- polígono de diez lados: decágono
- polígono de once lados: undecágono
- polígono de doce lados: dodecágono
- polígono de quince lados: pentadecágono
- polígono de veinte lados: icoságono

Los polígonos de n lados se llaman por el nombre de la cantidad de lados. Así el polígono de 22 lados se llama "polígono de veintidós lados".

Gauss

(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
El duque le proporcionó una asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».

¿Qué son las matemáticas?

Aunque la matemática sea la "Reina de las Ciencias", hay algunos matemáticos que no la consideran una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos consideran la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.
Las matemáticas son un arte, pero también es una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.
No es infrecuente encontrar a quien describe las matemáticas como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

¿Qué es un algoritmo?

En las matemáticas, en las ciencias de la computación, y las disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa al-Jwarizmi) es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final, obteniendo una solución. Los algoritmos son objeto de estudio de la algoritmia, y su definición queda formalizada por el modelo computacional de la Máquina de Turing.

Su importancia radica en mostrar la manera de llevar a cabo procesos y resolver mecánicamente problemas matemáticos o de otro tipo. Al igual que las funciones matemáticas, los algoritmos reciben una entrada y la transforman en una salida, comportándose como una caja negra. Sin embargo, para que un algoritmo pueda ser considerado como tal, debe ser determinista, eficiente, tener un número finito de instrucciones y debe acabar. Por determinista se entiende que, si se sigue el mismo proceso más de una vez, se llega siempre al mismo resultado; por eficiente, que el consumo de tiempo y memoria debe estar cercano o ser el menor posible.

El concepto de algoritmo, aunque similar y obviamente relacionado, no debe confundirse con el concepto de programa. Mientras el primero es la especificación de un conjunto de pasos (operaciones, instrucciones, órdenes,...) orientados a la resolución de un problema, el segundo es ese conjunto de operaciones especificadas en un determinado lenguaje de programación y para un computador concreto, susceptible de ser ejecutado (o compilado o interpretado). Un algoritmo, estrictamente hablando, no puede ejecutarse hasta que se implementa, ya sea en un lenguaje de programación, en un circuito eléctrico, en un aparato mecánico, usando papel y lápiz, o en algún otro modelo de computación.

En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Algunos ejemplos se encuentran en los instructivos (manuales de usuario), los cuales muestran algoritmos para usar el aparato en cuestión o inclusive en las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. También existen ejemplos de índole matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un Sistema lineal de ecuaciones.

¿Qué es un matemático?

Un matemático es una persona cuya área primaria de estudio e investigación es la de matemáticas. En dicho de otra forma, un matemático es una persona que contribuye con un nuevo conocimiento en el campo de la matemática. De esta manera, los que únicamente aplican teorías matemáticas no son considerados matemáticos, como por ejemplo, ingenieros, economistas, etc.
Los matemáticos son empleados en compañías privadas o como profesores en universidades, institutos, organizaciones de investigación, o agencias del gobierno. Para poner un ejemplo, en los Estados Unidos el principal empleador de matemáticos es la Agencia de Seguridad Nacional.
Debido a que la matemática es útil en varias áreas, muchos matemáticos están involucrados con la física y la informática.

ARISTÓTELES

Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo y científico griego, es uno de los filósofos más destacados de la antigüedad. Escribió entre otros ensayos, un resumen de las doctrinas de Pitágoras; del que han sobrevivido pocos extractos. Estos textos se basan en gran parte en las anotaciones recopiladas y ordenadas por sus editores posteriores. Entre ellos están los tratados de lógica llamados Organon ('instrumento'), ya que proporcionan los medios con los que se ha de alcanzar el conocimiento positivo.
En lógica, desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban y si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez ), no producirían falsas conclusiones ). En el razonamiento, los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los griegos son humanos", se llega a la conclusión válida de que "Todos los griegos son mortales".
La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento cada vez más complejos. Distinguía entre la dialéctica y la analítica. La dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Ello supone una ruptura con el pensamiento de Platón, donde la dialéctica era el único método lógico válido, tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.

La raíz cuadrada de 2

La raíz cuadrada de 2, es también conocida como constante pitagórica, se denota a menudo como:

es un número real positivo que al ser multiplicado por sí mismo da el número 2. Su valor numérico es aproximado a 65 posiciones decimales secuencia A002193 en OEIS es:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

La raíz cuadrada de 2 es posiblemente el primer número irracional descubierto. Geométricamente es la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud unidad; el valor de la longitud de esta diagonal se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras. En la época en las que los ordenadores no eran tan baratos (antes de la función SQRT) la aproximación fraccional más rápida era 99/ 70 (es mejor que la aproximación racional de 22/ 7 para π). La razón plateada es:

PERIMETROS

Para conocer el perímetro de un polígono debemos medir y sumar las longitudes de todos sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen sus lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que se puede calcular su perímetro.



a+b+c+d = ( ? )

Rombo

Un rombo es un paralelogramo que cumple las siguientes características:

1.Los cuatro lados que tiene son iguales.
2.Sus ángulos deben ser iguales dos a dos (solo son iguales los opuestos)
3.Sus diagonales deben ser iguales y perpendiculares.

Como calcular el área de un rombo:
Para calcular el área de un rombo, primero calculamos el producto de sus diagonales y después lo dividimos entre dos.

D = diagonal mayor

d = diagonal menor

A = ( D x d ) /2

Los números y sistema de numeración

Los números:
los números naturales son los que usamos para contar los objetos o elementos de un conjunto.
Para escribir los números utilizamos unos símbolos llamados cifras:números de 6 cifras se representa, centenas de millar (CM), de 5 cifras decenas de millar (DM), de 4 cifras unidades de millar (UM), de 3 cifras centenas (C), de 2 cifras decenas (D), y por ultimo de 1 cifra unidades (U)

Sistemas de numeración:
nuestro sistema de numeración es decimal y posicional.
Es decimal porque cada diez unidades forman una de orden superior:
20(U)=2(D); 20(D)=2(C).
Es posicional porque el valor que representa cada cifra depende de su posición en el número.

Descomposición en sumandos y números con mas de 6 cifras

Descomposición en sumandos:
Cualquier cantidad se puede expresar como la suma de las unidades que representa cada cifra.
Ejemplos: 563 colegios = 500+60+3; 692 libros = 600+90+2

Números con mas de 6 cifras:
Los números que se escriben con siete, ocho y nueve cifras expresan, respectivamente, unidades, decenas, y centenas de millón. Los que tienen diez, once y doce cifras indican unidades, decenas y centenas de mil de millón.
Las cifras que conocemos = CMM-DMM-UMM-CM1-DM1-UM1-CM-DM-UM- C-D-U.

Forma simple y forma compleja

Forma simple:
los números pueden expresarse con una clase de unidades. Ejemplo de forma simple: 254 U. Ejemplo de forma compleja: 2 C , 5 D , 4 U

Números exactos y aproximados

Números exactos y aproximados:
El redondeo o aproximación de una cantidad a las decenas, las centenas, las unidades de mil, etc., se hace tomando la decena, la centena o la unidad de mil exacta mas próxima al numero dado. Ejemplos: 46+21 = 50+20 - 98+68 = 100+70 - 2897+2987 = 2900+3000.

La multiplicación

La multiplicación:
ejemplo:
factor--------450
factor--------- x4
producto--1.800

La multiplicación tiene las propiedades conmutativa y asociativa.
Es conmutativa porque al cambiar el orden de los factores, el producto no varía: 14x7 = 7x14 = 98

Es asociativa porque se pueden sustituir dos factores cualesquiera por su producto:
(3x5) x8 = 3x (5x8)

Para multiplicar números con lápiz y papel, hace falta tener una tabla de multiplicar (en una hoja de papel, o, mejor, memorizada). También es necesario conocer algún algoritmo para multiplicar números.

Un algoritmo muy antiguo, utilizado en el antiguo Egipto, es el de la multiplicación por duplicación.

Hoy en día se suelen multiplicar números de varias cifras mediante la suma de los productos del multiplicando por las cifras sucesivas del multiplicador multiplicadas por la potencia de 10 correspondiente a cada cifra del multiplicador.

Véase algoritmo de multiplicación para ver formas rápidas de calcular productos de números grandes.

Una manera exitosa de multiplicar números es una estrategia distributiva.

Podemos comprobar que en una multiplicación obtenemos el mismo resultado si cambiamos el orden de sus factores o sustituimos dos de ellos por su producto.

Además del signo x se emplea también un punto para indicar una multiplicación.

Sus términos se llaman factores y el resultado, producto.

Los signos de la multiplicación son (X) y (·)

La adición

Adición:
la adición tiene las propiedades conmutativa y asociativa.
Es conmutativa porque el orden en que se operan los sumandos no altera el resultado:
15+20 = 20+15.

Es asociativa porque se pueden sustituir dos o más sumandos por su suma:
(15+65) + 26 = 65 + (15+26) = 106

La multiplicación es distributiva respecto a la adición - Por El Joven Matemático

La multiplicación es distributiva respecto a la adición:
El producto de un numero por una suma indicada es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos:
(5+9) x6 = (6x5) + (9x6).

La división - Por El Joven Matemático

Términos de la división:
D---dividendo
d---divisor
c---cociente
r---resto

La división:
la división es la operación inversa de la multiplicación.
Dividir dos números llamados dividendo y divisor, es hallar un tercero, llamado cociente, que multiplicado por el divisor de como producto el dividendo:
12:6 = 2 = 6x2 = 12.

Al calcular el cociente entre dos números, cualquier resto debe ser menor que el divisor.
Para confirmar que los cálculos están bien hechos comprobamos que se cumple la igualdad:
(dxc) + r = D

Números fraccionarios - Por El Joven Matemático

Número fraccionario:
Un número fraccionario es el que sirve para contar partes o fragmentos iguales en que se ha dividido la unidad.
Se escribe utilizando dos números naturales, llamados numerador y denominador, separamos con una raya horizontal.
El numerador indica las partes que contamos.
El denominador indica el nombre de las partes iguales en que se divide la unidad.

El número fraccionario y la unidad:
los números fraccionarios cuyo numerador es menor que el denominador expresan cantidades menores que la unidad.
Los que tienen el numerador mayor que el denominador expresan cantidades mayores que la unidad.
Cuando el numerador y el denominador son iguales, el numero fraccionario representa la unidad.

Fraccionarios menores que el denominador:

Ejemplos:
1/4 de leche = una parte de cuatro partes de leche.
2/3 de refresco = dos partes de tres partes de refresco.
3/5 = tres partes de cinco.
1/6 de harina y así sucesivamente...

En estos ejemplos he tenido que poner el símbolo ( / ) que normalmente se representa con ( __ )
que sería en horizontal.

Fraccionarios iguales que el denominador:

Ejemplos:
1/1 de leche = una parte de una parte de leche.
2/2 de refresco = dos partes de dos partes de refresco.
3/3 = tres partes de tres.
4/4 de harina = cuatro partes de cuatro de harina.

Fraccionarios mayores que el denominador:

Ejemplos:
3/2 de leche = tres partes de dos partes de leche.
4/3 de refresco = cuatro partes de tres de refresco.
5/4 = cinco partes de cuatro partes.
2/1 = dos partes de una parte.

Fracción de una cantidad - Por El Joven Matemático

Fracción de una cantidad:
para calcular la fracción de una cantidad dividimos la cantidad por el denominador y multiplicamos el cociente por el numerador.

Fracciones equivalentes:
fracciones equivalentes son las que representan la misma cantidad.
Para obtener fracciones equivalentes a una dad se multiplica o dividen el numerador y el denominador de esta por un mismo número.
Las fracciones equivalentes representan al mismo número fraccionario.

Comparación de números fraccionarios, adición y sustracción - Por El Joven Matemático

Comparación de números fraccionarios:
De dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador es mayor el que tiene mayor numerador.

De dos números fraccionarios que tienen el mismo numerador es mayor el que tiene menor denominador.

Adición y sustracción:
la suma o la diferencia de dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador es otro numero fraccionario que tiene el mismo denominador que los anteriores y cuyo numerador es igual a la suma o diferencia de los numeradores.

Números con decimales y décimas, centésimas y milésimas - Por El Joven Matemático

Fracciones decimales:
llamamos fracciones decimales a las que tienen por denominador la unidad seguida de ceros.

Décimas, centésimas y milésimas:
una décima-----0,1
una centésima----0,01
una milésima----0,001

Décima: 0,1--su símbolo es d----1U = 10 D
Centésima: 0,01--su símbolo es c----1U = 100 C
Milésima: 0,001--su símbolo es m---1U = 1000 M

Recuerda que:

En los números decimales, la parte entera representa unidades completas, y los
decimales representan las décimas, las centésimas o las milésimas de la unidad.

Una décima es cada una de las diez partes iguales en que se divide la unidad.

Una centésima es cada una de las cien partes iguales en que se divide la unidad.

Una milésima es cada una de las mil partes igules en que se divide la unidad.

Sustracción - Por El Joven Matemático

Los términos de la sustracción son minuendo (M), sustraendo (S) y diferencia (D).
La sustracción es la operación opuesta a la adición y consiste en encontrar un numero, llamado diferencia, que sumado con el sustraendo, de como resultado el minuendo:
S+D = M.

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

La definición En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.

Lectura y escritura de los números con decimales

Un número con decimales se lee nombrando primero la parte entera seguida de la palabra unidades y luego la parte decimal citando las unidades que representa la ultima cifra de la derecha:
15,364 = 15 unidades 364 milésimas.

Se escribe anotando primero la parte entera seguida de una coma y poniendo a continuación la parte decimal haciendo coincidir la ultima cifra con las unidades citadas:
5 unidades 20 milésimas = 5,020.
Si falta alguna clase de unidades, se pone cero en su lugar.

Comparación de números con decimales

De dos números con decimales es mayor el que tiene mayor el numero que representa la parte entera, las décimas, las centésimas o las milésimas.
Los ceros colocados al final de la parte decimal no cambian el valor del numero:
5,6 = 5,60 = 5,600

Si hay dos números decimales podemos compararlos. Un número es o mayor o menor o igual al otro número.

Un número decimal es un número fraccionario. Comparar 0.7 y 0.07 es más claro que compares 7/10 con 7/100. La fracción 7/10 es equivalente a 70/100 que es a simple vista más grande que 7/100.

Por lo tanto cuando se comparan decimales comienza con los décimos y luego con los centésimos, etc. Si un decimal tiene un valor mayor en los décimos entonces este es mayor que un decimal con un valor inferior en los décimos. Si los décimos son iguales, compara los centésimos, luego los milésimos, etc. Hasta que un decimal sea más grande o no haya más lugares para comparar. Si todos los valores posicionales decimales son iguales entonces los números decimales son iguales.

Operaciones con números decimales

Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir
las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el
resultado la coma bajo la columna de las comas.

Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas.
Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con
ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y
se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.


Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100,
1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga
la unidad.

Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen
números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras
decimales tengan entre los dos factores.

Multiplicación con decimales

El producto de dos números con decimales se calcula multiplicando los factores como si fuesen números naturales, prescindiendo de la coma y separando del producto obtenido, empezando por la derecha, tantas cifras decimales como tengan todos los factores.

Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores.

Multiplicación con decimales por la unidad seguida de ceros

El producto de un número con decimales por la unidad seguida de ceros es igual a un número formado por las mismas cifras que el primer factor y la coma trasladada tantos lugares a la derecha como ceros sigan a la unidad.

Si no hay cifras suficientes a la derecha, se añaden ceros:
0,54 x 10 = 5,4
1,5 x 100 = 150
0,87 x 1000 = 870

El kilómetro, el hectómetro y el decámetro

El metro es la unidad fundamental de medida de longitud.
El kilómetro, el hectómetro y el decámetro son múltiplos del metro.

Múltiplos:
kilómetro = km = 1000 m
hectómetro = hm = 100 m
decámetro = dam = 10 m
metro = m = 1 m

El decímetro, el centímetro y el milímetro

El decímetro, el centímetro y el milímetro son las unidades de medida de longitud menores que el metro:

1 m = 10 dm, 1 m = 100 cm, 1 m = 1000 mm

Decímetro = dm = 0,1 m
Centímetro = cm = 0,01 m
Milímetro = mm = 0,001 m

Conversor de unidades

km____hm____dam____m____dm____cm____mm
x10-->--x10-->--x10-->--x10-->-x10-->--x10
---------:10--<--:10--<--:10--<---:10--<---:10--<--:10

Normalmente se suele explicar con forma de escalera, pero de esta forma también se puede explicar.

Relación entre las unidades de longitud

Para convertir cantidades de unidades de un orden en otras de orden inferior se multiplican por 10 tantas veces como cambios de orden de unidades haya de las primeras a las segundas:
3,6 m - 3,6 x 10 x 10 = 360 cm

Para convertir cantidades de unidades de un orden en otras de orden superior se dividen por la unidad seguida de tantos ceros como cambios de orden de unidades haya de unas a otras:
3467 m - 3467 : 1000 = 3,467 km

Formas de expresar las medidas de longitud

En una cantidad expresada con decimales, las unidades en que viene dada están representadas por la cifra que esta a la izquierda de la coma:
en 57,36 m, el 7 representa los metros.

En una cantidad sin decimales, las unidades en que viene dada están representadas por la primera cifra de la derecha del número:
en 254 m, los metros están representados por el 4.

El decilitro, el centilitro y el mililitro

El decilitro, el centilitro y el mililitro son unidades menores que el litro.

Cada unidad tiene 10 unidades del orden inmediato inferior:
1 l = 10 dl 1 dl = 10 cl 1 cl = 10 ml

1 litro = 10 decilitros ; 1 decilitro = 10 centilitros ; 1 centilitro = 10 mililitros.

Ejemplos:
una lata de refresco suele tener 33 cl
un botesito de colonia podrá tener aproximadamente 50 ml
un vaso de agua aproximadamente 2 dl

El kilogramo y la tonelada

El kilogramo es la unidad fundamental de masa.
Su símbolo es kg.
Ejemplo:
un melón puede pesar 1 kg y medio.

La tonelada contiene 1000 kilogramos.
Su símbolo es t.
Ejemplo:
un camión pesa toneladas.

El gramo y el miligramo

El gramo (g) es una unidad mil veces menor que el kilogramo:
1 kg = 1000 g

El miligramo (mg) es una unidad mil veces menor que el gramo:
1 g = 1000 mg
Ejemplos:
una lata de atún puede pesar (según el tamaño) 80 g
un grano de arroz puede pesar 50 mg
una lata de cacao puede pesar 460 g

Expresión simple y compleja

Las medidas de masa y capacidad pueden expresarse con una clase de unidades (forma simple) o con varias clases de unidades (forma compleja) , sin decimales (expresión entera) o con decimales (expresión decimal) .

Expresión simple
4,2 t
120 l
6,785 kg

Expresión compleja
4 t, 200 kg
1 hl, 20 l
6 kg, 785 g

Instrumentos de medida

Para medir la capacidad utilizamos recipientes graduados.

Con las balanzas medimos la masa de los cuerpos comparando una de ellas con la otra que se toma por unidad.

Con las básculas medimos el peso o la fuerza de atracción de la Tierra.

El calendario

El calendario es un sistema por el que se asigna a cada día una fecha formada por tres datos: numero del día, numero del mes y numero del año.

23/6/1994 = día 23 del mes de junio del año 1994.

RECUERDA QUE...
No todos los países usan el mismo calendario.

El calendario gregoriano o cristiano cuenta los años a partir del nacimiento de Jesucristo. Las fechas se expresan poniendo 26 a. C o 560 d. C.

El calendario judío se indica el año 3761 a. C.
El islámico, el año 622 d. C. y sus años tienen 354 días.

La hora, los minutos y los segundos

El segundo es la unidad fundamental de la medida del tiempo.
Otras unidades son el minuto y la hora.
60 s = 1 min ; 60 min = 1 h ; 3600 s = 1 h.
Las agujas del reloj se llaman minutero (la grande) y segundero (la que corre mas y suele ser distinta) para los segundos.

La hora es también una medida angular: como la Tierra da una vuelta sobre sí misma en aproximadamente 24 horas, una hora equivale a 15º (o sea, al 24ª parte de la circunferencia). En todo meridiano terrestre el paso del Sol se produce al mediodía; una hora después pasará por otro meridiano situado a 15º al oeste del primero y así sucesivamente hasta medianoche, en cuyo momento preciso se hallará en el antemeridiano del meridiano de origen. A partir de entonces, el Sol se acerca de éste por levante, hasta volver al punto inicial 24 horas después.

Ahora bien, dada la forma esferoide del globo terrestre, la superficie limitada por dos meridianos separados por la distancia angular de 15º tiene la forma de un huso. Por convención universalmente adoptada, todos los relojes situados en el interior de un mismo huso horario indican la misma hora, aunque esa regla forzosamente tiene ciertas excepciones. Así, cuando una parte relativamente pequeña de un país se halla fuera del huso, se considera (para uniformar la hora nacional) que todo el territorio está en el huso principal. En los países muy extensos, como la Federación Rusa, Canadá o Estados Unidos, no existe una hora nacional, sino tantas horas como husos atraviesan el territorio.

¿Qué hora es?

Los relojes analógicos solo marcan 12 horas; por eso tenemos que aclarar si son de la mañana (a.m.) o de la tarde (p.m.) .

En los relojes digitales, las horas de la tarde vienen escritas como 13, 14, etc.
Mañana a.m. : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12
Tarde p.m. : 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24

Podemos expresar la hora que es en un momento determinado:
-Nombrando las horas desde la una hasta las veinticuatro y a continuación los minutos.

-Nombrando las horas de 1 a 12, añadiendo mañana o tarde, según los casos, y a continuación los minutos.

Expresión simple y compleja

Las cantidades de tiempo pueden expresarse en forma simple y en forma compleja.
Las horas, los minutos y los segundos se relacionan mediante un sistema sexagesimal, porque cada sesenta unidades forman otra del orden inmediato superior:
60 s = 1 min ; 60 min = 1 h.

Expresión compleja
2 h 30 min
4 min 20 s
2 h 20 min 30 s

Expresión simple
150 min
260 s
8430 s

Adición y sustracción de cantidades de tiempo

Para hallar la suma o la diferencia de cantidades de tiempo en forma compleja se suman o restan las unidades del mismo orden:
horas con horas, minutos con minutos y segundos con segundos.

Multiplicación por números naturales

Para multiplicar una medida de tiempo por un número natural multiplicamos, independientemente, las horas, los minutos y los segundos por dicho número.
Después pasamos a minutos los segundos que superan a 60, y los minutos que superan a 60, a horas.

El paréntesis

El paréntesis es un símbolo de auguración de operaciones.
Al calcular varias operaciones combinadas con paréntesis, siempre han de realizarse primero las encerradas en el mismo.
Ejemplo:
300 - (6 + 3) x 10
- 300 - 9 x 10
- 300 - 90
- = 210

La calculadora

La calculadora, como el ordenador, son instrumentos que realizan operaciones aritméticas con rapidez.
La calculadora no científica realiza las operaciones básicas y la científica, cálculos mas complejos y difíciles.

Una calculadora es un operador técnico para realizar cálculos aritméticos. Aunque las calculadoras modernas incorporan a menudo un ordenador de propósito general, se diseñan para realizar ciertas operaciones más que para ser flexibles. Por ejemplo, existen calculadoras gráficas especializadas en campos matemáticos gráficos como la trigonometría y la estadística. También suelen ser más portátiles que la mayoría de computadores, si bien algunas PDAs tienen tamaños similares a los modelos típicos de calculadora.

En el pasado, se utilizaban como apoyo al trabajo numérico ábacos, comptómetros, ábacos neperianos, tablas matemáticas, reglas de cálculo y máquinas de sumar. El término «calculador» se usaba para aludir a la persona que ejercía este trabajo, ayudándose también de papel y lápiz. Este proceso de cálculo semimanual era tedioso y proclive a errores. Actualmente, las calculadoras son electrónicas y son fabricadas por numerosas empresas en tamaños y formas variados. Se pueden encontrar desde modelos muy baratos del tamaño de una tarjeta de crédito hasta otros más costosos con una impresora incorporada.

Una de las primeras calculadoras mecánicas es el mecanismo de Anticitera.

El punto, la recta y el plano

El punto O no tiene extensión. Se representa por la intersección de dos rectas.

La recta r es una sucesión infinita de puntos que tienen la misma dirección. La recta no tiene principio ni fin.

El plano por ejemplo son el tablero de una mesa, la superficie de un encerado, el suelo de una clase dan idea de un plano.

El punto, la recta y el plano son elementos geométricos.
El punto no tiene dimensiones; la recta tiene una dimensión, longitud; y el plano, dos dimensiones, largo y ancho, que son dos longitudes.

El ángulo y su medida

La amplitud de un ángulo, que se mide en grados, es la abertura de sus lados.
El grado es la unidad de medida de la amplitud de los ángulos.
Un grado es cada uno de los 360 ángulos iguales en que pueden dividirse un círculo.

Ángulo recto, agudo, obtuso y llano

Los ángulos, por su amplitud, pueden ser rectos, agudos, obtusos y llanos.

Los ángulos rectos miden 90º; los agudos, menos de 90º; los obtusos, mas de 90º; y los llanos, 180º.

Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice

Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el vértice comunes.

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice comunes y el otro lado en la misma recta.

Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice común y los lados del uno son prolongación de los del otro.

Adición y sustracción de ángulos

El ángulo suma de varios ángulos tiene como amplitud la suma de las amplitudes de los ángulos que se suman.

El ángulo diferencia de dos ángulos tiene como amplitud la diferencia de la amplitud de dichos ángulos.

Ángulos complementarios y suplementarios

Dos o mas ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto (90º).
Dos o mas ángulos son suplementarios si su suma es igual a dos ángulos rectos (180º).

Número fraccionario

Un numero fraccionario es el que sirve para contar partes o fragmentos iguales en que se ha dividido la unidad.

Se escribe utilizando dos números naturales, llamados numerador y denominador, separados con una raya horizontal.

3>El numerador indica las partes que contamos
-
5>El denominador indica el nombre de las partes iguales en que se divide la unidad.

El número fraccionario y la unidad

Los números fraccionarios cuyo numerador es menor que el denominador expresan cantidades menores que la unidad.

Los que tienen el numerador mayor que el denominador expresan cantidades mayores que la unidad.

Cuando el numerador y el denominador son iguales, el número fraccionario representa la unidad, esto es, un número natural.

Comparación de números fraccionarios

De dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador es mayor el que tiene mayor numerador.
De dos números fraccionarios que tienen el mismo numerador es mayor el que tiene menor denominador.

Adición y sustracción de números fraccionarios

La suma o la diferencia de dos números fraccionarios que tienen el mismo denominador es otro número fraccionario que tiene el mismo denominador que los anteriores y cuyo numerador es igual a la suma o diferencia de los numeradores.

Polígonos

Son lados consecutivos los que forman un ángulo interior del polígono.
Diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértice no situados en un mismo lado.
Cualquier polígono tiene el mismo numero de lados, de ángulos y de vértice.

El área del cuadrado y del rectángulo

Área de una figura es la medida de la superficie que ocupa.

Hallar el área de una figura es calcular las veces que contiene a otra que tomamos como unidad.

El área del cuadro y del rectángulo se calcula multiplicando el valor de la longitud de sus dos dimensiones: largo y ancho.

Área del cuadrado = 1 x a = 1 x 1
Área del rectángulo = 1 x a

Poliedros regulares

Poliedros regulares son los cuerpos geométricos que tienen todas sus caras iguales y formadas por polígonos regulares.

"TETRAEDRO" "HEXAEDRO" "OCTAEDRO" "DODECAEDRO" "ICOSAEDRO"

Desarrollo de los cuerpos geométricos

Llamamos desarrollo de un cuerpo geométrico a la representación en el plano de las superficies que lo limitan, de tal manera que al doblarlas, puedan formarlo.

Albert Einstein

Albert Einstein (14 de marzo de 1879 - 18 de abril de 1955), nacido en Alemania y nacionalizado en Estados Unidos en 1940, es el científico más conocido e importante del siglo XX. En 1905, siendo un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna (Suiza), publicó su Teoría de la Relatividad Especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple y con base en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados anteriormente por Henri Poincaré y Hendrik Lorentz. Probablemente, la ecuación de la física más conocida a nivel popular es la expresión matemática de la equivalencia masa - energía, E=mc², deducida por Einstein como una consecuencia lógica de esta teoría. Ese mismo año publicó otros trabajos que sentarían algunas de las bases de la física estadística y la mecánica cuántica.

En 1915[1] presentó la Teoría General de la Relatividad, en la que reformuló por completo el concepto de gravedad. Una de las consecuencias fue el surgimiento del estudio científico del origen y evolución del Universo por la rama de la física denominada cosmología. Muy poco después, Einstein se convirtió en un icono popular de la ciencia alcanzando fama mundial, un privilegio al alcance de muy pocos científicos.

Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica, y no por la Relatividad, pues en esa época era aún considerada un tanto controvertida por parte de muchos científicos.

Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas

La tablilla conocida como Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia podía tratarse de algún tipo de anotación contable pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tenga conocimiento.