El joven matemático: Ángulos complementarios y suplementarios

La historia de los lápices

Uno de los útiles más usados para escritura borrable, es el lápiz.

En 1564 se descubrió el grafito, en Cumberland, (Inglaterra, cercana a la frontera con Escocia). Esto permitió la invención de los lápices de grafito, que se introdujeron en Francia, en la corte de Luis XIII.

A partir de la mitad del Siglo XVII, las minas inglesas de grafito eran explotadas por la corona, y servían también para la fundición de cañones y su producción estaba muy reglamentada, por lo que se penaba con pena de muerte al obrero que llegara a extraer un fragmento de dicho material.

En 1792 se cortaron las relaciones entre Francia e Inglaterra. Esto hizo que el ingeniero francés Jacques-Nicolás Conté, ideara unos lápìces de grafito y arcilla, rodeados de madera de cedro. Pronto se impusieron en todo el mundo. Aunque otras documentaciones indican que el verdadero inventor fue el hijo de un carpintero, el austríaco Josef Hardtmuth, del cual se habla en detalle en la nota periodística incluida al pie de la página.

La dureza de los lápices depende de la proporción entre grafito (una variedad del carbono) y arcilla: cuanto más grafito se utilice, más blando u oscuro es el trazo del lápiz. Se mezclaba polvo de grafito con arcilla, cortando en pequeñas barras que luego se cocían.

En 1812 el estadounidense William Monroe perfeccionó este proceso.

John Eberhard (nacido en 1822) construyó la primera fábrica de lápices en gran escala, en Estados Unidos de América.

En las últimas décadas del Siglo XX, Brasil era uno de los principales productores de lápices, con 4.500 millones de unidades por año.

El lápiz, utensilio que pese al predominio del ordenador resulta aún hoy imprescindible en todo el mundo, fue inventado por Josef Hardtmuth, un austríaco del que ahora se conmemora el 250 aniversario de su nacimiento, el 20 de febrero de 1752.

Hijo de un carpintero de Aspern an der Zaya, Baja Austria, Hardtmuth aprendió en Viena el oficio de albañil, llegó a ser arquitecto de los Príncipes de Liechtenstein y fundó posteriormente una fábrica de tejas y una manufactura de loza.

Descontento con la baja calidad de los utensilios de los que entonces se disponía para escribir, tuvo la ocurrencia de mezclar la arcilla con polvo de grafito, formar unas minas y cocerlas, para sumergirlas después en un baño de cera para que el grafito dejara rastro en el papel.

Añadiendo las cantidades adecuadas de arcilla a la mezcla, pudo determinar el grado de dureza del lápiz, y en 1792 fundó su propia empresa en Viena, cuya producción sigue existiendo hoy en día.

Anteriormente, en la Edad Media, se solía escribir con una varilla hecha de plomo y plata, con la que más bien se grababa en vez de escribir, y en el siglo XV se produjo en Italia la primera mina de plomo y estaño.

En 1658 se descubrieron en Inglaterra unos yacimientos de grafito, que supusieron una revolución para los dibujantes, aunque esos lápices resultaban muy caros.

La historia del libro

El nacimiento del libro se remonta a más de 5 mil años, siendo el medio de comunicación más fecundo del hombre. Su importancia en el desarrollo cultural de los pueblos ha sido determinante, en el se han quedado registrados los grandes acontecimientos de la humanidad tanto sociales, políticos y culturales.
Es en la prehistoria donde encontramos el origen del libro con las primeras manifestaciones ideográficas, pero es hasta la invención de la imprenta cuando aparece propiamente.
La escritura permitió transcribir y preservar los conocimientos y acontecimientos humanos.
El primer libro escrito que se conoce data del años 3000 a.C. y es atribuido a los sumerios de Mesopotamia. Muchos han sido los medios usados para la transmisión de los conocimientos, los babilonios usaron ladrillos de arcilla blanda, que después eran cocidos en hornos, otros materiales fueron tablillas enceradas que permitían ser borrados y modificados, pero es el papiro uno de los medios mas apropiados y más usados en la antigüedad por su facilidad de uso, muy difundidos son los papiros egipcios que formaban rollos, los cuales eran fácilmente guardados en sus bibliotecas. La escritura de los antiguos Egipcios fue a base de jeroglíficos, que al igual que en los países del Medio Oriente, la lectura fue privilegio de las castas sacerdotales.
Con el uso de la escritura alfabética desarrollada por los griegos, se despoja este carácter sagrado, por lo que el hábito de la lectura se extendió notablemente.
La producción de libros se amplió en gran escala gracias a la fabricación del papel, allá por el año 751, aunque ya se fabricaba años antes en China poco a poco fue introducido en otros países. Pronto fue necesario utilizar medios de reproducción más rápidos y económicos; la Xilografía fue muy usada en Europa para reproducir manuscritos, pero pronto fue insuficiente.
El Renacimiento marcó cambios importantes, uno de ellos fue la invención de la Imprenta en el siglo XV por Johnnes Gutenberg con la utilización de perfiles de letras fundidas en matrices de cobre o de latón entintadas en una prensa.
La primera obra impresa por Gutenberg fue la Biblia llamada Mazarina. La imprenta marcó un momento histórico como pocos, permitió la impresión de grandes cantidades de libros, los cuales pudieron llegar a más estratos sociales, la cultura se difundió enormemente y traspasó fronteras.
A partir de entonces la imprenta ha sufrido constantes cambios, los avances en la fotografía y la electrónica han revolucionado las técnicas de impresión.
Los libros llegan ahora a todos los rincones del planeta y constituyen uno de los medios de comunicación mas importantes y más fácil de adquirir.

La historia de las matemáticas

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las matemáticas en la antigüedad

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, E era la suma de las fracciones 3 y <. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) + 10 × (†)-2. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ¸.

Las matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, ¸, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.

Las matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 71°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de 1° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.

Las matemáticas en la edad media

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

Las matemáticas en el mundo islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwarizmì (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Las matemáticas durante el renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Avances en el siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Situación en el siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

Las matemáticas en el siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann. Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevsky y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

Las matemáticas actuales

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

Historia de la goma de borrar

Una goma de borrar, también llamada como borrador, es un instrumento de mano cuya finalidad es eliminar trazos erróneos generalmente de lápiz, aunque también puede ser de tinta o marcador. Es fundamental en la corrección de errores en la escritura generalmente a lápiz, aunque existen también gomas que borran tinta de un bolígrafo normalmente de color azul o amarillo.

Para usarla, simplemente se debe frota sobre la superficie donde se desea eliminar el trazo que haya resultado erróneo. Esta operación debe hacerse con cuidado y precisión para evitar la ruptura del papel sobre el que debemos borrar.

El borrador tiene una consistencia parecida a la goma, de ahí su nombre. Algunas contienen materiales plásticos y vinilo. Ciertos lápices poseen goma de borrar incorporada en un extremo.

Su materia prima es extraída de un árbol de la selva virgen, en Brasil, llamado como " Arbol de Caucho" o tambien "Seringueira"

Normalmente los colores de las gomas son:

* Blanca: Para borrar lápiz.

* Azul: Para borrar tinta.

* Amarilla: Para borrar tinta especial de trabajos de arquitectura.

* Color carne a rojiza: Como la que viene en los extremos de los lápices para borrar trazos incorrectos de los mismos.

* Café clara de migajón: Borra trazos de lápiz.

La historia del bolígrafo

En 1938, el inventor húngaro, Lazlo Biro, logró usar la lapicera a bolita con una tinta viscosa y aceitosa de secado rápido que resultaba adecuada. Establecido en Argentina en 1940, huyendo de la amenaza nazi, patentó su invento el 10 de junio de 1943. En seguida se comenzó a usar en Buenos Aires.
La RAF adoptó rápidamente este invento, desde 1944, para resolver la escritura de los pilotos en gran altura.
Si bien ya se habían patentado sistemas a bolita, en 1888 (J. J. Loud), no se había solucionado el problema de la viscosidad de la tinta, lo que resolvió Biro , después de observaciones en su trabajo de periodista, de las tintas de imprenta de secado rápido.
El bolígrafo desplazó a la pluma estilográfica como utensilio universal para escribir.
Después de Biró, Reynolds perfeccionó el bolígrafo.
En 1951, el Barón francés Marcel Bich compró la patente al húngaro-argentino Lazlo Biró y en 1953 comenzó una fabricación industrial de un bolígrafo barato, descartable: el Bic, del cual se supone que se venden unos 3.000.000 por año. (A la producción de Bic descartables, Marcel Bich unió las maquinitas de afeitar y los encendedores descartables).
La duración total de las Bic es de una escritura en línea de 5 kilómetros. Su bolita está fabricada en tungsteno, y se fabrican de 0,5 7 de 0,7 mm, ya sea para trazo fino o trazo grueso.
En 1979, la firma norteamericana Gillette puso a la venta el Erase Mate o Replay, el primer bolígrafo borrable.
En Gérard Pavard, educador técnico de Morbihan, creó un bolígrafo que escribe en relieve, con tinta termohinchable, que registró en septiembre de 1985, por el que obtuvo el premio en París, en el concurso Lépine 1989. Dicho bolígrafo permite el dibujo y la escritura de invidentes.
En 1963 aparecieron los marcadores, las fibras o rotuladores con punta de fieltro y poco a poco se van imponiendo.

El sacapuntas

Un sacapuntas, afila lápices o afilador es el instrumento que se utiliza para afinar la madera y la punta de grafito destinada a escribir de un lápiz cuando ésta se ha engrosado por el uso o cuando el lápiz es nuevo. Es indispensable cuando se trata de dar calidad a la escritura, ya que frecuentemente se engrosa la punta del lápiz con el uso. Existen sacapuntas de varios tipos y tamaños de acuerdo al grosor de los lápices diversos que existen.

Sacapuntas portátil de mano

Es el más económico, común y pequeño con cerca de 2,5 centímetros de tamaño y no tiene ninguna pieza móvil. Consta de una fina navaja que se atornilla a una cubierta de plástico o metal, que incluye un orificio por donde se introduce el lápiz que se quiere afilar. Estos sacapuntas pueden ser sencillos o estar incluidos en un envase destinado a contener las virutas sin ensuciar.

Los sacapuntas metálicos de este tipo son como se muestra en la ilustración de la parte inicial de la página o pueden tener doble orificio y navaja para distintos grosores de lápices. Los sacapuntas cubiertos de plástico tienen muy diversas formas: redonda, hexagonal, de corazón, de animalito, elípticos, etc.

Para usarlo, se inserta la extremidad del lápiz en el orificio del sacapuntas y se gira el lápiz con una mano mientras se sostiene fijo con la otra: la navaja dentro del sacapuntas afeita paulatinamente la madera del lápiz, afilando así la punta. La viruta saldrá inmediatamente al exterior del sacapuntas, por lo que conviene realizar esta operación teniendo debajo el bote de basura a menos que incluya el sacapuntas contenedor de la viruta por no ensuciar.

Aunque esta operación pareciera ser sencilla a primera vista, es importante no hacerla exageradamente sin ver, sino estar siempre atento de cuánta punta se ha sacado por no quebrar la punta del lápiz y observar el grado de afinamiento que se desea emplear. Las personas que sacan punta atropelladamente sin ver, quiebran muy frecuentemente las puntas de sus lápices, disminuyendo así la vida útil de los mismos, pudiendo evitarse esto al hacerlo con cuidado.

Sacapuntas fijo de manivela

Se encuentra fijo en un escritorio y es de metal o plástico. Incluye una manivela como parte principal para accionar el instrumento y en su interior contiene una o dos cuchillas cilíndricas que afinan el lápiz. La cubierta de estos sacapuntas constituye un depósito para las virutas del lápiz que necesita ser vaciada periódicamente.

Para usarlo, se introduce el lápiz en la abertura con una distancia adecuada con la que que se desea afilar el lápiz y se inicia a dar vueltas a la manivela en sentido de las manecillas del reloj, esto rota el sistema de cuchillas cilíndricas colocadas dentro del mecanismo en cierto ángulo una respecto a la otra consiguiendo así afilar rápidamente el lápiz.

Mientras se está afilando el lápiz, se percibe duro el accionar de la manivela el cual se afloja al poco tiempo una vez que ha quedado afilado el lápiz, pudiendo entonces extraerlo para su uso. Acabando de sacar punta, conviene tirar la viruta del contenedor en el bote de basura. Es bueno mencionar que la viruta que queda como residuo es muy distinta a la que queda con el sacapuntas portátil, pues queda en forma de delgadas espirales.

Estos sacapuntas afilan muy uniformemente, en forma cónica perfecta, la parte de madera del lápiz, dando así mucha mayor comodidad a la escritura, pero llega a quedar chata la punta, la cual debe afinarse posteriormente con un sacapuntas portátil de mano.

Debido a la enorme popularización del sacapuntas portátil de mano, casi no se usan los este tipo en la actualidad.

Este tipo de sacapuntas fue durante mucho tiempo el estándar en oficinas, escuelas, y bibliotecas antes de que los sacapuntas portátiles llegaran a ser muy comunes, pero toda su estructura era de metal a diferencia de los actuales con armazón de plástico y todavía se encuentran en algunos de estos sitios los antiguos sacapuntas de manivela metálicos.

Sacapuntas eléctrico

Tiene un motor eléctrico en su interior que gira cuchillas que afilan el lápiz. Para accionarlo, simplemente se introduce el lápiz en su orificio destinado para el efecto, y se saca cuando uno considera que el lápiz ha quedado afilado. Funcionan con el mismo principio que los fijos de manivela, pero las cuchillas se hace rotar rápidamente por un motor eléctrico, terminando el afilado tan pronto se saca el lápiz del aparato. Algunos sacapuntas de lápiz eléctricos son accionados por pilas, más que por los enchufes eléctricos, haciéndolos más transportables.

Tiene como ventaja su rapidez y comodidad de empleo, pero falla cuando se va la luz y es mucho más caro que los dos anteriores. También existen unos de menor tamaño que funcionan con pilas.

Historia del sacapuntas

Antiguamente, los lápices fueron afilados por medio de cuchillos o navajas. Luego los sacapuntas hicieron esta tarea mucho más fácil y dieron un resultado más uniforme. Algunos tipos especializados, tales como lápiz de un carpintero todavía se afilan con cuchillo, debido a su forma plana. Bernard Lassimone, matemático francés, solicitó la primera patente (patente francesa # 2444) para los sacapuntas de lápiz, en 1828. En 1847, el DES Estwaux de Therry inventó los sacapuntas de lápiz manuales.

Siméon Denis Poisson

Siméon Denis Poisson (Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781-Sceaux, Francia, 25 de abril de 1840), fue un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.

La primera memoria de Poisson sobre la electricidad fue en 1812, en que intentó calcular matemáticamente la distribución de las cargas eléctricas sobre la superficie de los conductores, y en 1824, también demostró que estas mismas formulaciones podían aplicarse de igual forma al magnetismo.

El trabajo más importante de Poisson fue una serie de escritos de las integrales definidas, y cuando tan solo tenía 18 años, escribió una memoria de diferencias finitas.

Poisson enseñaba en la escuela Politécnica desde el año 1802 hasta 1808, en que llegó a ser un astrónomo del Bureau des Longitudes. En el campo de la astronomía estuvo fundamentalmente interesado en el movimiento de la Luna.

En 1809 fue nominado como profesor de matemáticas puras en la nuevamente abierta facultad de ciencias.

En 1837 publicó en Rerecherchés sur la probabilite des jugements, un trabajo importante en la probabilidad, en el cual describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento ocurre algunas veces.

Durante toda su vida publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos incluyendo aplicaciones a la electricidad, el magnetismo y la astronomía.

Georg Cantor

Georg Cantor (*San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).

Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros.

Y, entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³. Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría.

Empezó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).

Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.

Ludwig Wittgenstein

Ludwig Josef Johann Wittgenstein nació en Viena el 26 de abril de 1889. Al abandonar sus abuelos paternos el judaísmo para convertirse al protestantismo se mudaron de Sajonia (Alemania) a Viena, donde el padre de Ludwig, Karl Wittgenstein, ganó fuerza y admiración al volverse uno de los negociantes pioneros de la industria del acero y del hierro del Imperio Austrohúngaro. La madre de Ludwig era católica. Ludwig fue bautizado en una Iglesia católica (al morir no tuvo un entierro católico ya que él nunca practicó ni creyó en el Catolicismo).

Ludwig creció como el octavo y último de los hijos de una de las familias más ricas de Viena, donde se le ofreció un ambiente propicio para al arte y la intelectualidad. Sus padres eran aficionados a la música y todos sus hijos tuvieron dotes intelectuales y artísticas. La casa de los Wittgenstein atraía a gente culta, especialmente a los músicos. La familia recibía visitas frecuentes de artistas como Gustav Mahler. Toda la educación musical de Ludwig sería muy importante para él. Incluso utilizó ejemplos musicales en sus escritos filosóficos. Otra no tan afortunada herencia que pudo haber tenido fue la tendencia al suicidio: tres de sus cuatro hermanos varones se quitaron la vida. El otro (Paul Wittgenstein) se hizo pianista.

Wittgenstein mantuvo una posición muy crítica sobre sus colegas filósofos e incluso sobre lo que podían opinar de él otras figuras del ámbito científico. En sus opiniones, como siempre, no se mordía la lengua:

Me es indiferente que el científico occidental típico me comprenda o me valore, ya que no comprende el espíritu con el que escribo. Nuestra civilización se caracteriza por la palabra 'progreso'. El progreso es su forma, no una de sus cualidades, el progresar. Es típicamente constructiva. Su actividad estriba en construir un producto cada vez más complicado. Y aun la claridad está al servicio de este fin; no es un fin en sí. Para mí, por el contrario, la claridad, la transparencia, es un fin en sí. (Aforismos. Cultura y valor, 30)

Cuando acabó la Primera Guerra Mundial renunció a los $300 millones de lo heredado de su padre a favor de sus hermanas, con el acuerdo de que nunca le dieran un centavo, no amaba el dinero.

Murió en Cambridge el 29 de abril de 1951, tras negarse a recibir tratamiento médico contra el cáncer que sufría. Se dice que sus últimas palabras fueron: "Diles que mi vida fue maravillosa".